====== 199^200 和 200^199 相比，哪个更大 ======

[[https://www.zhihu.com/question/380167560|原问题]]：<m>199^200</m>和<m>200^199</m>相比，哪个更大。

===== 比较土鳖的解法 =====

比较明显的解法是直接比较对数：<m>log(199^200)</m> 和 <m>log(200^100)</m>，展开得到<m>log(199)*200</m>和<m>log(200)*199</m>。

===== 解 =====

考虑到 <m>199^200</m> 和 <m>200^199</m> 皆为正，因此可以将两数相除：

<m>q = (200^199)/(199^200)</m>

该商q如果比1大，则说明 <m>199^200</m> 较小；反之如果商q比1小，则 <m>199^200</m> 较大。如果商等于一，则两者相等（显然，这并不可能）。

注意到<m>199^200 = 199^199 * 199</m>

我们可以得到<m>q=(200^199)/(199^200)=(200^199)/((199^199)*199) = (200/199)^199 * (1/199)</m>

注意到<m>200=199+1</m>，上述等式可进一步写作：

<m>q = (1+1/199)^199 * (1/199)</m>

表面上看，这个和最开始的问题类似，仍然需要计算 <m>200^199</m> 和 <m>199^199</m>，但实际上如果我们只是要证明 <m>q < 1</m> 的话，可以把上述等式中的<m>(1+1/199)</m>替换为比它大一些的数，并证明新的数仍然<m><1</m>，例如，令：

<m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/199)*(1/199)</m>

或换言之将前198项替换为通项公式为 <m>1+1/(n+1)</m> 或 <m>(n+2)/(n+1)</m>，由于前198项每项都大于<m>1+1/199=200/199</m>，若能证明<m>r<1</m>，就可以证明<m>q<1</m>了。我们有：

<m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/198)*(1+1/199)*(1/199) = (3/2)*(4/3)*(5/4)*...*(199/198)*(200/199)*(1/199)</m>

注意到该式前项分母和后项分子可以直接约去，最终前199项只剩下了第一项的分母(2)和第199项的分子(200)：

<m>r = (1/2)*(1/1)*(1/1)*...*(1/1)*(200/1)*(1/199)</m>

于是：

<m>r=100*(1/199)=100/199<1</m>

既然<m>r<1</m>，由于<m>r>q</m>，因此<m>q<1</m>，从而， <m>199^200>200^199</m>.