====== 有多少个5位递减数？ ======

===== 问题 =====

A decreasing number is a number where each digit is less than the digit to its left. For example, 87420 is a decreasing number.

How many five digit decreasing numbers are there? 

===== 解 =====

这是一道典型的排列组合问题。首先，由于递减数的定义是高位比低位数字要大，令该数字为<m>overline{abcde}</m>，满足<m>a>b</m>、<m>b>c</m>、<m>c>d</m>、<m>d>e</m>，这样我们需要取5个不同的数字。在0-9这10个数字中选取5个不同的数字之后，其从大到小的排列方式是唯一的，因而这个问题就转化成了在10个数字中任意选取5个数字有多少种组合的问题。

我们知道：<m>n C r = {n!} / {r!(n-r)!}</m>

由于 <m>n=10</m> 而 <m>r=5</m>，得到：

<m>10 C 5 = {10!} / {5!(10-5)!}</m>

<m>10 C 5 = {10*9*8*7*6*5*4*3*2*1} / {{(5*4*3*2*1)*(5*4*3*2*1)}}</m>

<m>10 C 5 = {10*9*8*7*6} / {{5*4*3*2*1}}</m>

<m>10 C 5 = {2*9*2*7*2} / {{2*1}}</m>

<m>10 C 5 = {2*9*2*7}</m>

<m>10 C 5 = 252</m>

因此一共有252个。

写个 Python 脚本验证一下：
<code python>
total = 0
for x in range(43210,98765+1):
    a, b, c, d, e = str(x)
    if (a > b) and (b > c) and (c > d) and (d > e):
        total = total + 1
print(total)
</code>