====== 2的整数次方幂的个位数是多少？ ======

令 <m>x=2^n</m>，其中n为正整数，令 <m>f(n)=2^n mod 10</m>，求f。

===== 解 =====

由于<m>n>=1</m>且n为整数，因此 <m>2^n</m> 一定为偶数。对于2的整数次方幂，对其质因数分解只能得到2，由于系数中没有5，因此 <m>f(n)<>0</m>。于是 <m>f(n)</m> 只可能有4个取值：2、4、6、8。

由于模乘运算的性质，对于模10的计算而言，两个正整数相乘时只需要考虑其个位即可：

<m>a*b mod 10 = (a mod 10)*(b mod 10) mod 10</m>

由于2的整数次方幂的个位只有2、4、6、8四个可能的取值，根据上述性质，可以很容易地得到：

|*|2|4|6|8|
|2|4|8|2|6|
|4|8|6|4|2|
|6|2|4|6|8|
|8|6|2|8|4|

很明显，当且仅当乘数个位为6时，乘积与另一乘数的个位相等。2的整数次方幂中，满足个位为6的最小数值是<m>2^4=16</m>。

我们知道:

<m>f(n+4)=2^(n+4) mod 10=(2^4 * 2^n) mod 10=(2^4 mod 10)*(2^n mod 10) mod 10=6*(2^n mod 10) mod 10</m>

根据前面的表格，我们可以进一步得出：

<m>f(n+4)=2^(n+4) mod 10=(2^n mod 10)mod 10=2^n mod 10=f(n)</m>

故f在其定义域上是一个周期为4的函数，即：

<m>f(n)=f(n mod 4)</m>

注意此处有个小问题是<m>f(0)</m>并不在f的定义域内。为了简便起见，我们令<m>f(0)=6</m>。这样一来，就没有什么不是拉格朗日插值解决不了的问题了。

定义：
<m>g(x)=-10x^3/3+15x^2-47x/3+6</m>

注：若此问题是为了用程序来算，此处也可以用查表法：

|x|g(x)|
|0|6|
|1|2|
|2|4|
|3|8|

则：

<m>f(n)=g(n mod 4)</m>