====== 多项式分解x^6-1 ======
===== 问题 =====

多项式分解：
<m>x^6-1</m>

===== 解（Frank） =====

直接分解<m>x^6-1</m>似乎有些难，我们首先把它转化一下。首先：

<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2</m>

我们知道：

<m>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</m>

因此，令

<m>a=x^3</m>

以及

<m>b=1</m>

代入，得到：

<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)</m>

此外我们知道：

<m>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</m>

由于 <m>1^3=1</m>，因此 <m>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</m>

此时我们剩下了<m>x^3+1</m>这一项。注意到<m>+1=-(-1)^3</m>，实际上我们可以把上述式子改写为 <m>x^3+1=x^3-(-1)^3</m>，于是可以继续套用上面的公式，令 <m>a=x</m>, <m>b=-1</m>，得到：

<m>x^3+1=x^3+1=x^3-(-1)^3=(x-(-1))(x^2+x(-1)+(-1)^2)=(x+1)(x^2-x+1)</m>

根据以上，得到：

<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)=((x-1)(x^2+x+1))((x+1)(x^2-x+1))=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)</m>

这个解的思路来自Frank，比原先的解法更简单一些。

===== 解 =====

直接分解<m>x^6-1</m>似乎有些难，我们首先把它转化一下。首先：

<m>x^6-1=(x^2)^3-(1)^3</m>

我们知道：

<m>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</m>

令
<m>a=x^2</m>
以及
<m>b=1</m>

得到

<m>(x^2)^3-(1)^3=(x^2-1)((x^2)^2+x^2+1^2)=(x^2-1)(x^4+x^2+1)</m>

其中，
<m>x^2-1</m>很容易分解得到<m>x^2-1=(x+1)(x-1)</m>
但是
<m>(x^4+x^2+1)</m>
看起来似乎不太容易分解。然而，我们可以把它先加一个<m>x^2</m>，再减去一个<m>x^2</m>，换言之：

<m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2)</m>

继续整理得到：

<m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2</m>

括号部分容易分解（<m>a^2+2ab+b^2=(a+b)^2</m>）：

<m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2-x^2</m>

我们知道：

<m>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</m>

令 <m>a=x^2+1</m> 和 <m>b=x</m>

容易得到：

<m>(x^2+1)^2-x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)</m>

因此最终：

<m>x^6-1=(x^2)^3-(1)^3=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)</m>