本页面只读。您可以查看源文件,但不能更改它。如果您觉得这是系统错误,请联系管理员。 ====== 用圆形的表来实现圆的十一等分 ====== 偶然刷到的一个短视频: https://www.youtube.com/shorts/dork6Os77ek 这里提出了一个观点:十二个小时之内,时针和分针会相遇十二次,而首尾两次(12:00)是重合的,因此,把时针与分针相遇时的位置记录下来,就可以把圆盘分成十一份了。 不考虑精度(反正是用手切,因此其精度终归是有限的),从抬杠的角度,我们还需要解决一些其他问题。例如,相邻的两次时针与分针重合的时间间隔是固定的吗?以及每次重合的时间都是什么时候? ===== 解 ===== 表针转动一圈一共是 <m>2 pi</m>,一圈一共12小时,因此每小时转动 <m>{2 pi}/12</m>。由于每小时有60分钟,因此时针每分钟转动<m>{2 pi}/(12*60)={2 pi}/720=pi/360</m>。 类似地,分针转动一圈一共是<m>2 pi</m>,一圈1小时,由于每小时有60分钟,因此分针每分钟转动<m>{2 pi}/60=pi/30</m> 令<m>t</m>为以12:00为起点算起的分钟数,我们可以得到此时时针转动了 <m>{t pi}/360</m>。类似地,分针转动了 <m>{t pi}/30</m>。注意到时针在12个小时之内只转一圈,而分针可能转过很多圈,不妨令<m>n</m>为分针转过的完整圈数,这样我们可以把分针的位置表达为<m>{{t pi}/30}-{n * 2pi}</m>。 如此一来,「时针与分针重合」就可以用方程表达为: <m>{t pi}/360 = {{t pi}/30}-{n * 2pi}</m> 等式两边都乘以360,得到: <m>t pi = 12t pi - 720n pi</m> 于是 <m>11t pi = 720n pi</m> 于是 <m>t = {720/11}n</m> 由于n是整数,因此重合的时间就是以12:00为起点,间隔<m>720/11</m>分钟的时间,因此这些时针分针重合的点确实可以把圆周分成11等分。这个间隔是一个循环小数,大约是65.45分钟,或65分27秒多一点。 据此我们可以计算出如下的表格: |n|时间| |0|12:00| |1|1:05| |2|2:11| |3|3:16| |4|4:22| |5|5:27| |6|6:33| |7|7:38| |8|8:44| |9|9:49| |10|10:55| |11|12:00|