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--- notes:math:199_200vs200_199 [2021/06/02 06:01] – [解] delphij
+++ notes:math:199_200vs200_199 [2022/01/15 01:28] (当前版本) – delphij
@@ 行 23: / 行 23: @@
 <m>q = (1+1/199)^199 * (1/199)</m>
-表面上看，这个和最开始的问题类似，仍然需要计算 <m>200^199</m> 和 <m>199^199</m>，但实际上如果我们只是要证明 <m>q < 1</m> 的话，可以把上述等式中的<m>(1+1/199)</m>替换为比它大一些的数，并证明新的数仍然<m><1</m>。
+表面上看，这个和最开始的问题类似，仍然需要计算 <m>200^199</m> 和 <m>199^199</m>，但实际上如果我们只是要证明 <m>q < 1</m> 的话，可以把上述等式中的<m>(1+1/199)</m>替换为比它大一些的数，并证明新的数仍然<m><1</m>，例如，令：
-令：
 <m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/199)*(1/199)</m>
-很明显，r的前198项都比<m>(1+1/199)</m>要大，因此很明显<m>r>q</m>，于是，若能证明<m>r<1</m>，就可以证明<m>q<1</m>了。而计算r要容易许多，因为<m>1+1/n=(n+1)/n</m>，因此有：
+或换言之将前198项替换为通项公式为 <m>1+1/(n+1)</m> 或 <m>(n+2)/(n+1)</m>，由于前198项每项都大于<m>1+1/199=200/199</m>，若能证明<m>r<1</m>，就可以证明<m>q<1</m>了。我们有：
 <m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/198)*(1+1/199)*(1/199) = (3/2)*(4/3)*(5/4)*...*(199/198)*(200/199)*(1/199)</m>
-注意到该式前项分母和后项分子可以直接约去，得到：
+注意到该式前项分母和后项分子可以直接约去，最终前199项只剩下了第一项的分母(2)和第199项的分子(200)：
 <m>r = (1/2)*(1/1)*(1/1)*...*(1/1)*(200/1)*(1/199)</m>