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notes:math:199_200vs200_199 [2021/06/01 17:17] – 创建 delphijnotes:math:199_200vs200_199 [2022/01/15 01:28] (当前版本) – delphij
行 9: 行 9:
 ===== 解 ===== ===== 解 =====
  
-考虑到 <m>199^200</m> 和 <m>200^199</m> 皆为正，把两边均除以大于1的常量<m>199^199</m>，得到:+考虑到 <m>199^200</m> 和 <m>200^199</m> 皆为正，因此可以将两数相除：
  
-左边：<m>199^200 / 199^199 = 199^(200-199) = 199</m>+<m>q = (200^199)/(199^200)</m>
  
-右边：<m>200^199 / 199^199 = (199/200)^199</m>+该商q如果比1大，则说明 <m>199^200</m> 较小；反之如果商q比1小，则 <m>199^200</m> 较大。如果商等于一，则两者相等（显然，这并不可能）。
  
-由于 <m>(199/200)<1</m>，很显然 <m>(199/200)^199 < 1 < 199</m>+注意到<m>199^200 = 199^199 * 199</m>
  
-因此<m>199^200 > 200^199</m>+我们可以得到<m>q=(200^199)/(199^200)=(200^199)/((199^199)*199) = (200/199)^199 * (1/199)</m> 
 + 
 +注意到<m>200=199+1</m>，上述等式可进一步写作： 
 + 
 +<m>q = (1+1/199)^199 * (1/199)</m> 
 + 
 +表面上看，这个和最开始的问题类似，仍然需要计算 <m>200^199</m> 和 <m>199^199</m>，但实际上如果我们只是要证明 <m>q < 1</m> 的话，可以把上述等式中的<m>(1+1/199)</m>替换为比它大一些的数，并证明新的数仍然<m><1</m>，例如，令： 
 + 
 +<m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/199)*(1/199)</m> 
 + 
 +或换言之将前198项替换为通项公式为 <m>1+1/(n+1)</m> 或 <m>(n+2)/(n+1)</m>，由于前198项每项都大于<m>1+1/199=200/199</m>，若能证明<m>r<1</m>，就可以证明<m>q<1</m>了。我们有： 
 + 
 +<m>r = (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/198)*(1+1/199)*(1/199) = (3/2)*(4/3)*(5/4)*...*(199/198)*(200/199)*(1/199)</m> 
 + 
 +注意到该式前项分母和后项分子可以直接约去，最终前199项只剩下了第一项的分母(2)和第199项的分子(200)： 
 + 
 +<m>r = (1/2)*(1/1)*(1/1)*...*(1/1)*(200/1)*(1/199)</m> 
 + 
 +于是： 
 + 
 +<m>r=100*(1/199)=100/199<1</m> 
 + 
 +既然<m>r<1</m>，由于<m>r>q</m>，因此<m>q<1</m>，从而， <m>199^200>200^199</m>.