本页面只读。您可以查看源文件，但不能更改它。如果您觉得这是系统错误，请联系管理员。 ====== 多项式分解x^6-1 ====== ===== 问题 ===== 多项式分解： <m>x^6-1</m> ===== 解（Frank） ===== 直接分解<m>x^6-1</m>似乎有些难，我们首先把它转化一下。首先： <m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2</m> 我们知道： <m>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</m> 因此，令 <m>a=x^3</m> 以及 <m>b=1</m> 代入，得到： <m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)</m> 此外我们知道： <m>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</m> 由于 <m>1^3=1</m>，因此 <m>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</m> 此时我们剩下了<m>x^3+1</m>这一项。注意到<m>+1=-(-1)^3</m>，实际上我们可以把上述式子改写为 <m>x^3+1=x^3-(-1)^3</m>，于是可以继续套用上面的公式，令 <m>a=x</m>, <m>b=-1</m>，得到： <m>x^3+1=x^3+1=x^3-(-1)^3=(x-(-1))(x^2+x(-1)+(-1)^2)=(x+1)(x^2-x+1)</m> 根据以上，得到： <m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)=((x-1)(x^2+x+1))((x+1)(x^2-x+1))=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)</m> 这个解的思路来自Frank，比原先的解法更简单一些。 ===== 解 ===== 直接分解<m>x^6-1</m>似乎有些难，我们首先把它转化一下。首先： <m>x^6-1=(x^2)^3-(1)^3</m> 我们知道： <m>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</m> 令 <m>a=x^2</m> 以及 <m>b=1</m> 得到 <m>(x^2)^3-(1)^3=(x^2-1)((x^2)^2+x^2+1^2)=(x^2-1)(x^4+x^2+1)</m> 其中， <m>x^2-1</m>很容易分解得到<m>x^2-1=(x+1)(x-1)</m> 但是 <m>(x^4+x^2+1)</m> 看起来似乎不太容易分解。然而，我们可以把它先加一个<m>x^2</m>，再减去一个<m>x^2</m>，换言之： <m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2)</m> 继续整理得到： <m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2</m> 括号部分容易分解（<m>a^2+2ab+b^2=(a+b)^2</m>）： <m>x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2-x^2</m> 我们知道： <m>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</m> 令 <m>a=x^2+1</m> 和 <m>b=x</m> 容易得到： <m>(x^2+1)^2-x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)</m> 因此最终： <m>x^6-1=(x^2)^3-(1)^3=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)</m>