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notes:math:x6-1 [2023/04/12 22:29] – 创建 delphijnotes:math:x6-1 [2023/04/13 04:15] (当前版本) – delphij
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 ====== 多项式分解x^6-1 ====== ====== 多项式分解x^6-1 ======
 +===== 问题 =====
 +
 多项式分解： 多项式分解：
 <m>x^6-1</m> <m>x^6-1</m>
 +
 +===== 解（Frank） =====
 +
 +直接分解<m>x^6-1</m>似乎有些难，我们首先把它转化一下。首先：
 +
 +<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2</m>
 +
 +我们知道：
 +
 +<m>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</m>
 +
 +因此，令
 +
 +<m>a=x^3</m>
 +
 +以及
 +
 +<m>b=1</m>
 +
 +代入，得到：
 +
 +<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)</m>
 +
 +此外我们知道：
 +
 +<m>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</m>
 +
 +由于 <m>1^3=1</m>，因此 <m>x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)</m>
 +
 +此时我们剩下了<m>x^3+1</m>这一项。注意到<m>+1=-(-1)^3</m>，实际上我们可以把上述式子改写为 <m>x^3+1=x^3-(-1)^3</m>，于是可以继续套用上面的公式，令 <m>a=x</m>, <m>b=-1</m>，得到：
 +
 +<m>x^3+1=x^3+1=x^3-(-1)^3=(x-(-1))(x^2+x(-1)+(-1)^2)=(x+1)(x^2-x+1)</m>
 +
 +根据以上，得到：
 +
 +<m>x^6-1=(x^3)^2-(1)^2=(x^3+1)(x^3-1)=((x-1)(x^2+x+1))((x+1)(x^2-x+1))=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)</m>
 +
 +这个解的思路来自Frank，比原先的解法更简单一些。
  
 ===== 解 ===== ===== 解 =====