多项式分解x^6-1

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多项式分解x^6-1

问题

多项式分解: x^6-1

直接分解x^6-1似乎有些难,我们首先把它转化一下。首先:

x^6-1=(x^2)^3-(1)^3

我们知道:

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a=x^2 以及 b=1

得到

(x^2)^3-(1)^3=(x^2-1)((x^2)^2+x^2+1^2)=(x^2-1)(x^4+x^2+1)

其中, x^2-1很容易分解得到x^2-1=(x+1)(x-1) 但是 (x^4+x^2+1) 看起来似乎不太容易分解。然而,我们可以把它先加一个x^2,再减去一个x^2,换言之:

x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2)

继续整理得到:

x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2

括号部分容易分解(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2):

x^4+x^2+1 = x^4+x^2+(x^2)+1-(x^2) = (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2-x^2

我们知道:

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

a=x^2+1b=x

容易得到:

(x^2+1)^2-x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x) = (x^2+x+1)(x^2-x+1)

因此最终:

x^6-1=(x^2)^3-(1)^3=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

notes/math/x6-1.1681338584.txt.gz · 最后更改: 2023/04/12 22:29